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Nahpunkt

Nächster Punkt auf der optischen Achsen mit „akzeptabler Schärfe“

Nahpunkt = \frac{(Brennweite^2 \cdot Gegenstandsweite)}{(Brennweite^2 + Blendenkennziffer \cdot z \cdot (Gegenstandsweite-Brennweite))}

Wobei z der Zerstreuungskreis (größte erlaubte Unschärfe) in Millimeter ist.

Alternativ, können wir den Nahpunkt über die Vergrößerung M ausdrücken :

Nahpunkt = \frac{(Brennweite^2 \cdot (M + 1))}{(Brennweite\cdot M + Blendenkennziffer \cdot Zerstreuungskreisdurchmesser )}

Benutzen wir z.B. einen 1/2.5″ 5 Aptina Megapixel Graubild Sensor mit 2.2\mu Pixelgröße, so können wir als Zerstreuungskreis für sehr scharfe Bilder, die Pixeldiagonale wählen, also z = 2.2 \cdot \sqrt{2} = 3.1 \mu = 0.0031mm
Ein 5 Mega Objektiv mit f=7.2mm Brennweite mit Blende F2.4, welches auf eine Objektweite von 100mm fokussiert wird, hat dann einen Fernpunkt von
Fernpunkt = \frac{((7.2mm)^2 \cdot 100mm)}{((7.2mm)^2 - 2.4 \cdot 0.0031mm \cdot (100mm-7.2mm))} = 101.35mm
und einen Nahpunkt von
Nahpunkt = \frac{((7.2mm)^2 \cdot 100mm)}{((7.2mm)^2 + 2.4 \cdot 0.0031mm \cdot (100mm-7.2mm))} = 98.69mm
also eine Schaerfentiefe = Fernpunkt - Nahpunkt =2.66mm
Benutzen wir Stattdessen einen 5 Megapixel Graubild Sony Sensor mit 3.45\mu Pixelgröße, so können wir als Zerstreuungskreis für sehr scharfe, die Pixeldiagonale wählen, also z = 3.45 \cdot \sqrt{2} = 4.86 \mu = 0.00486mm
Ein 5 Mega Objektiv mit f=7.2mm Brennweite mit Blende F2.4, welches auf eine Objektweite von 100mm fokussiert wird, hat dann einen Fernpunkt von
Fernpunkt = \frac{((7.2mm)^2 \cdot 100mm)}{((7.2mm)^2 - 2.4 \cdot 0.00486mm \cdot (100mm-7.2mm))} = 102.13mm
und einen Nahpunkt von
Nahpunkt = \frac{((7.2mm)^2 \cdot 100mm)}{((7.2mm)^2 + 2.4 \cdot 0.00486mm \cdot (100mm-7.2mm))} = 97.95mm
also eine Schaerfentiefe = Fernpunkt - Nahpunkt =4.18mm
Verwendet man einen Farbsensor, kann man für scharfe Bilder z=2 \cdot PixelSize rechnen. Für die beiden Sensoren oben erhält man dann :
Schaerfentiefe_{5 Mega Aptina} = 101.93mm-98.14mm = 3.78mm
Schaerfentiefe_{5 Mega Sony} = 103.06mm-97.11mm = 5.93mm
Zur Erhöhung der Schärfentiefe kann man Pixelgröße vergrößern, verringert aber dabei die Auflösung oder ändert(bei gleicher Pixelzahl) die Vergrößerung)
Ändert man die Brennweite des Objektivs so, dass man auf dem gleichen Sensor (aus anderem Abstand) wieder den gleichen Bildausschnitt sieht, bekommt man (bei gleicher Blendenzahl) wieder die gleiche Schärfentiefe !!!
siehe auch https://www.optowiki.info/de/kann-man-die-scharfentiefe-durch-anderung-der-brennweite-erhohen/?noredirect=de
Um die Schärfentiefe zu erhöhen, können wir den Arbeitsabstand und die Bildpunktgröße beibehalten, währen wir auf einen kleineren Sensor umstellen. dann verlieren wir aber Auflösung (weil weniger der gleichgroßen Bildpunkte auf den Sensor passen))
Wird auf die Hyperfokale Distanz H fokussiert, liegt der Fernpunkt im Unendlichen (\infty) und der Nahpunkt bei \frac{H}{2}. Die Schärfentiefe beträgt dann \infty. Fokussieren auf die Hyperfokale Distanz resultiert also in der größtmöglichen Schärfentiefe.

Newtonsche Abbildungsgleichung

newton-linsengleichung.svg

Bildentstehung an einer Linse. Die Größen z und z’ sind rot markiert.

Die newtonsche Abbildungsgleichung ist eine nach dem englischen Physiker Isaac Newton benannte Formel der Strahlenoptik.

Sie lautet

f^2 = z \cdot z'

mit

z = Gegenstandsweite - Brennweite

und

z'= Bildweite - Brennweite

Aufgelöst nach der Gegenstandweite erhalten wir

Gegenstandsweite = Brennweite + \frac {f^2}{Bildweite - Brennweite}

Aufgelöst nach der Bildweite erhalten wir

Bildweite = Brennweite + \frac {f^2}{Gegenstandsweite - Brennweite}

Sie wird vielfach anstelle der Linsengleichung
verwendet. Hierbei steht z bzw. z’ für die Differenz aus Gegenstandsweite bzw. Bildweite und Brennweite.

Ein Objektpunkt sei 20mm links vom ersten Brennpunkt einer Linse mit f=30mm Brennweite entfernt.
Dann ist sein Bild -\frac{30 * 30}{-20} = 45mm rechts vom zweiten Brennpunkt (“-” 20 weil er links vom Brennpunkt ist).
Ein Objektpunkt sei 10mm links vom ersten Brennpunkt einer Linse mit f=30mm Brennweite entfernt.
Dann ist sein Bild -\frac{30 * 30}{-10} = 90mm rechts vom zweiten Brennpunkt (“-” 10 weil er links vom Brennpunkt ist).

Der Vorteil der Newtonschen Gleichung ist, dass man Brennpunkte auch unbekannter Linsen und Abstände von diesen Brennpunkten relativ leicht bestimmen kann, während Hauptebenen nur relativ schwer bestimmt werden können.

Normalobjektiv

Entozentrisches Objektiv mit einer Brennweite gleich der Sensordiagonalen,Objektiv, dessen Brennweite gleich der Sensordiagonalen ist.

Beispiele:
 Bei den analogen Spiegelreflexkameras (24x36mm Film, 42mm Diagonale) ist ein f=42mm ein Normalobjektiv. Früher wurden f=50mm Objektive als Normalobjektiv bezeichnet (na ja, f=50mm war am nächsten an f=42mm dran)
 Drittelzollobjektive (mit 6mm Sensordiagonalen) haben Objektive mit f=6mm Brennweite als NormalObjektiv
 Halbzollobjektive haben f=8mm als Normalobjektiv
 Ein-Zoll Objektive haben f=16mm als Normalobjektiv
 Ein Drittelzoll f=6mm Objektiv und ein Halbzoll f=8mm Objektiv sehen das 
Gleiche ! 
NormalObjektive werden zur Definition von “Weitwinkelobjektiv” und “Teleobjektiv” herangezogen : 
Objektive mit einer Brennweite kleiner der des Normalobjektivs heissen Weitwinkelobjektiv.
Objektive mit einer Brennweite grösser der des Normalobjektivs heissen Teleobjektiv. 
Beispiel:
Ein f=8mm Objektiv ist auf einem 1/3″ Sensor ein (“leichtes”)Teleobjektiv, auf einem 1″ Sensor jedoch ein (“starkes”) Weitwinkelobjektiv.

Numerische Apertur

Die Numerische Apertur ist ein Maß für die Auflösung eines Objektivs.

Bei gegebenem Arbeitsabstand hat bei beugungsbegrenzten Objektiven wie etwa telezentrischen Objektiven das Objektiv mit der größeren numerischen Apertur die bessere Auflösung.

Die Numerische Apertur wird berechnet als Sinus des halben Aperturwinkels, multipliziert mit dem Brechungsindex des Mediums.

Nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz bleibt die numerische Apertur eine Linse konstant über verschiedene Medien hinweg :

NA = n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) =...

NA = n \sin(\theta) = n \sin(atan(\frac {Eintrittspupillendurchmesser}{2 Brennweite}))

Aus der NA , kann man aus der obigen Gleichung die Blendenzahl unter Vereinfachung n :=1 und weil (nur) für kleine Winkel sin(x):= tan(x) gilt:

F\# = \frac{1}{2 NA}

Sind Vergrößerung m und Pupillenvergrößerung P bekannt, so können wir die effektive Blendenzahl ausrechnen mit :

WorkingF\# = \frac{1}{2 NA_{image}} = (1- \frac{magnification}{P}) F\#

und auch

\frac{1}{2 NA_{object}} = (\frac{magnification - P}{magnification P}) F\#

Geht die Objektentfernung gegen unendlich nähert sich die effektive Blendenzahl der Blendenzahl F#.