Kann man die Schärfentiefe durch Änderung der Brennweite erhöhen, wenn Helligkeit und Bildausschnitt gleich bleibt?

Per Definition ist
DOF := FernpunktNahpunkt.

Die Formeln dafür sind äußerst kompliziert und enthalten mehrere Male die Brennweite als Variable.

Überraschenderweise hat die Brennweite (unter den oben genannten Bedingungen) keinen Einfluss auf die Schärfentiefe!

Die Brennweite hat keinen Einfluss auf die Schärfentiefe, wenn nur Bildausschnitt und Blendenzahl gleich bleiben.

In anderen Wörtern :

Solange der Bildausschnitt und die Blende konstant bleiben, ist in jedem Arbeitsabstand die Schärfentiefe gleich.

Da die Helligkeit die gleiche bleiben soll ist die F# (Blendenzahl) die gleiche.
Da der Bildausschnitt (FOV) der gleiche ist, gilt dies auch für die Vergrößerung \beta beider Linsen.

Da die F\# konstant ist, so auch die NA (Numerische Apertur, weil F\# = \frac{1}{2*NA(image side)}.

Weil NA = \sin(\alpha), ändert sich auch der Winkel \alpha nicht. Unsere Definition von Schärfe, der erlaubte Zerstreuungskreis, soll sich natürlich auch nicht ändern.

Nach dem Rayleigh Kriterium, ist auch die Auflösung der Objektive gleich, hier als beugungsbegrenzt angenommen.

Wenn wir uns die Stelle wo sich das Licht für ein Pixel sammelt genauer anschauen, sehen wir ..

SVG Diffraktion auf Pixel Ebene

Diffraktion auf Pixel Ebene

Die Rote Scheibe zeigt das kleinstmögliche Airyscheibchen gemäß Rayleigh – kontrolliert nur durch Wellenlänge und Blendenzahl F\#. (Siehe Rayleigh-Kriterium). Der Durchmesser ist nach Rayleigh das doppelte der Objektivauflösung.
Die grüne Scheibe ist unsere Definition von “ist noch fokussiert” . Da der Winkel \alpha konstant ist, so auch 2 \alpha, welches der Öffnungswinkel des Doppelkegels auf Pixelebene ist.
Da Winkel und dünnste Stelle des Doppelkegel gleich sind, so auch der obere und untere Punkt bei der ihn die grüne Scheibe berührt. Der Abstand von oberem zum unteren Maximum der grünen Scheibe ist die bildseitige Schärfentiefe. Die objektseitige Schärfentiefe (DOF, depth of field) ist
bildseitige Schärfentiefe / Vergrößerung \beta, welches konstant ist, weil der Bildausschnitt (FOV) konstant ist.