Wie berechnet man die nötige Brennweite eines Fisheye-Objektivs?

Gehen wir zunächst davon aus, dass wir ein F-Theta Objektiv ohne Verzeichnung suchen.

Die Abbildungskurve ist dann gegeben durch die Beziehung

(1) r = f \cdot \theta

Diese Formel ist der Namensgeber für diese Bauart von Objektiven.

Theta (\theta ) ist dabei das Bogenmaß des halben gewünschten Öffnungswinkels.

Öffnungswinkel : 185°
Objektivtyp Verzeichnungsfreies F-Theta Objektiv
Bildkreisdurchmesser 7.5mm

Anstelle des Bildkreisdurchmessers kannst du hier auch einen „Referenzdurchmesser“ einsetzen und dir z.B. 90° Öffnungswinkel bei 4mm Abstand von der Mitte wünschen.

Dann ist der \text{Bildkreisradius} = \frac{\text{Bildkreisdurchmesser}}{2} = \frac{7.5\text{mm}}{2} = 3.75\text{mm}

\text{Halber Öffnungswinkel} = \frac{185\ensuremath{^{\circ}}\xspace}{2} = 92.5\ensuremath{^{\circ}}\xspace

\theta = halber Öffnungswinkel im Bogenmaß = \frac{92.5\ensuremath{^{\circ}}\xspace}{180\ensuremath{^{\circ}}\xspace} \cdot \pi = 1.61..

(1) wird also zu

3.75 = f \cdot 1.61

\Leftrightarrow f = \frac{3.75mm}{1.61} = 2.33mm

Ein F-Theta-verzeichnungsfreies F-Theta Objektiv mit 185° Öffnungswinkel bei einem Bildkreis von 7.5mm hat also ca. 2.33mm Brennweite

Öffnungswinkel 185°
Bildkreisdurchmesser 7.0mm
Objektivtyp Verzeichnungsfreies F-Theta Objektiv

3.5 = f \cdot 1.61

\Leftrightarrow f = \frac{3.5mm}{1.61} = 2.17mm

Wenn man also ein verzeichnungsfreies F-Theta mit zwischen 7 und 7.5mm Bilddurchmesser bei 185° suchst, kommt eine Brennweite zwischen 2.17mm und 2.33mm in Frage.

Können z.B. -5% Verzeichnung akzeptiert werden, kann man grob mit 100% – (-5) % = 105% = 7.5mm rechnen,
Dann hat man bei 7.5mm 105% von 185 Grad im Bild und die echten 185° erscheinen schon bei einem Durchmesser von

105% = 7.5mm
100% = \frac{100 \cdot 7.5}{105} = 7.14mm

Geht man damit in (1) erhält man

\frac{7.14}{2} = 3.57 = f \cdot 1.61
\Leftrightarrow f = \frac{3.57}{1.61} = 2.22mm

Können z.B. -5% Verzeichnung bei 7mm Bildkreis akzeptiert werden, kann man grob mit 100% – (-5) % = 105% = 7.0mm rechnen,
Dann hat man bei 7.0mm 105% von 185 Grad im Bild und die echten 185° erscheinen schon bei einem Durchmesser von

105% = 7.0mm
100% = \frac{100 \cdot 7.0}{105} = 6.67mm

Geht man damit in (1) erhält man

\frac{6.67}{2} = 3.34 = f \cdot 1.61
\Leftrightarrow f = \frac{3.34}{1.61} = 2.1mm

Möchte man also zwischen 7mm und 7.5mm Bildkreisdurchmesser bei 185° Sichtfeld haben,
benötigt man verzeichnungsfrei 2.17 – 2.33mm Brennweite
benötigt man -5% Verzeichnung 2.1 – 2.22mm Brennweite