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Fermat’sches Prinzip

Wenn sich Licht von einem zu einem anderen Punkt bewegt wählt es pfade die in erster Näherung die gleiche optische Pfadlänge wie benachbarte Strahlen haben.

Von einem Punkt zum anderen wählt Licht immer einen Pfad dessen zeitliche Länge (optische Pfadlänge, OPL) sich nicht ändert,wenn der Weg leicht variiert
Licht nimmt also immer den zeitlich kürzesten Weg, aber nicht unbedingt den Weg der kleinsten Entfernung.

der tatsächlich genommene Pfad hat eine optische Weglänge, die entweder ein Minimum oder ein Maximum bezüglich der optischen Pfadlängen von Nachbarpfaden einimmt, oder hat die gleiche optische Pfadlänge wie die benachbarten Pfade.

[embedit snippet=“fermat-snippet“]

Fernpunkt

Fernster Punkt auf der optischen Achse mir  „akzeptabler Schärfe“

Fernpunkt = \frac{(Brennweite^2 \cdot Gegenstandsweite)}{(Brennweite^2 - F\# \cdot CoC \cdot (Gegenstandsweite-Brennweite))}

Wobei CoC der Zerstreuungskreis (größte erlaubte Unschärfe) in Millimeter ist.

Alternativ, können wir den Fernpunkt über die Vergrößerung M ausdrücken :

Fernpunkt = \frac{(Brennweite^2 \cdot (M + 1))}{(Brennweite\cdot M - F\# \cdot CoC)}

Benutzen wir z.B. einen 1/2.5″ 5 Aptina Megapixel Graubild Sensor mit 2.2\mu Pixelgröße, so können wir als Zerstreuungskreis für sehr scharfe Bilder, die Pixeldiagonale wählen, also CoC = 2.2\mu \cdot \sqrt{2} = 3.1 \mu = 0.0031mm
Ein 5 Mega Objektiv mit f=7.2mm Brennweite mit Blende F2.4, welches auf eine Objektweite von 100mm fokussiert wird, hat dann einen Fernpunkt von
Fernpunkt = \frac{((7.2mm)^2 \cdot 100mm)}{((7.2mm)^2 - 2.4 \cdot 0.0031mm \cdot (100mm-7.2mm))} = 101.35mm
und einen Nahpunkt von
Nahpunkt = \frac{((7.2mm)^2 \cdot 100mm)}{((7.2mm)^2 + 2.4 \cdot 0.0031mm \cdot (100mm-7.2mm))} = 98.69mm
also eine Schaerfentiefe = Fernpunkt - Nahpunkt =2.66mm
Benutzen wir Stattdessen einen 5 Megapixel Graubild Sony Sensor mit 3.45\mu Pixelgröße, so können wir als Zerstreuungskreis für sehr scharfe, die Pixeldiagonale wählen, also CoC = 3.45 \cdot \sqrt{2} = 4.86 \mu = 0.00486mm
Ein 5 Mega Objektiv mit f=7.2mm Brennweite mit Blende F2.4, welches auf eine Objektweite von 100mm fokussiert wird, hat dann einen Fernpunkt von
Fernpunkt = \frac{((7.2mm)^2 \cdot 100mm)}{((7.2mm)^2 - 2.4 \cdot 0.00486mm \cdot (100mm-7.2mm))} = 102.13mm
und einen Nahpunkt von
Nahpunkt = \frac{((7.2mm)^2 \cdot 100mm)}{((7.2mm)^2 + 2.4 \cdot 0.00486mm \cdot (100mm-7.2mm))} = 97.95mm
also eine Schaerfentiefe = Fernpunkt - Nahpunkt =4.18mm
Verwendet man einen Farbsensor, kann man für scharfe Bilder CoC=2 \cdot PixelSize rechnen. Für die beiden Sensoren oben erhält man dann :
Schaerfentiefe_{5 Mega Aptina} = 101.93mm-98.14mm = 3.78mm
Schaerfentiefe_{5 Mega Sony} = 103.06mm-97.11mm = 5.93mm
Zur Erhöhung der Schärfentiefe kann man Pixelgröße vergrößern, verringert aber dabei die Auflösung oder ändert(bei gleicher Pixelzahl) die Vergrößerung)
Ändert man die Brennweite des Objektivs so, dass man auf einem größeren Sensor wieder den gleichen Bildausschnitt sieht, bekommt man (bei gleicher Blendenzahl) wieder die gleiche Schärfentiefe !!!
siehe auch https://www.optowiki.info/de/kann-man-die-scharfentiefe-durch-anderung-der-brennweite-erhohen/?noredirect=de
Um die Schärfentiefe zu erhöhen, können wir den Arbeitsabstand und die Bildpunktgröße beibehalten, währen wir auf einen kleineren Sensor umstellen. dann verlieren wir aber Auflösung (weil weniger der gleichgroßen Bildpunkte auf den Sensor passen))
Wird auf die Hyperfokale Distanz H fokussiert, liegt der Fernpunkt im Unendlichen (\infty) und der Nahpunkt bei \frac{H}{2}. Die Schärfentiefe beträgt dann \infty. Fokussieren auf die Hyperfokale Distanz resultiert also in der größtmöglichen Schärfentiefe.

Field of View

(i.a. horizontaler) Bereich des Objekts den der Sensor sehen kann.

Manchmal interessiert das HFOV (horizontal field of view), manchmal das VFOV (Vertical Field of View) und manchmal das DFOV (Diagonal Field of View). Es ist äußerst wichtig, dass klar ist, welches FOV gemeint ist.

Fisheye Typen

Es gibt verschiedene Typen von Fisheye Objektiven.
Hier ein kurzer Überblick:

Typ gnomonisch Winkeltreu F-Theta Flächentreu orthographisch
Objektivklasse Weitwinkel Fisheye Fisheye Fisheye Fisheye
Abbildungsfunktion r(\theta) = f \cdot tan \theta r(\theta) = 2 \cdot f \cdot tan \frac{\theta}{2} r(\theta)=f \theta r(\theta) = 2 \cdot f \cdot sin \frac{\theta}{2} r(\theta) = f \cdot sin \theta
normalisierte Abbildungsfunktion h(\theta)=\frac{r(\theta)}{f} h(\theta) = tan \theta h(\theta) = 2 \cdot tan \frac{\theta}{2} h(\theta)=\theta h(\theta) = 2 \cdot sin \frac{\theta}{2} h(\theta) = sin \theta
meridionale Skalierung S_{m}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {h} (\theta )}{\mathrm {d} \theta }} S_{m}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }} S_{m}={\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}} S_{m}=1 S_{m}=\cos {\frac {\theta }{2}} S_{m}=\cos \theta
sagittale Skalierung S_{s}={\frac {\mathbf {h} (\theta )}{\sin \theta }} S_{s}={\frac {1}{\cos \theta }} S_{s}={\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}} S_{s}={\frac {\theta }{\sin \theta }} S_{s}={\frac {1}{\cos {\frac {\theta }{2}}}} S_{s}=1
effective Skalierung S=\sqrt{S_{m} \cdot S_{s}} S={\frac {1}{\sqrt {\cos ^{3}\theta }}} S={\frac 1{\cos ^{2}{\frac \theta 2}}} S={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \theta }}} S=1 S={\sqrt {\cos \theta }}
N von S_{m}=S_{s}^{N} 2 1 0 -1 \infty
Balance Deform. vs. Skalierung B={\frac {2\,(N-1)}{N+1}} \frac{2}{3} 0 -2 \infty 2
Krümmung C={\frac {N-2}{3-N}} 0 -{\tfrac 12} -{\tfrac 23} -{\tfrac 34} -1
Deformation D={\frac {S_{m}}{S_{s}}} D={\frac 1{\cos \theta }} D=1 D={\frac {\sin \theta }\theta } D=\cos ^{2}{\frac \theta 2} D=\cos \theta
erhält – Winkel Winkelabstände Flächen flächige Beleuchtungstärke
AOV \alpha_{max} <180° <360° >= 360° 360° 180°
\alpha_{schwach} 54° 94° 115° 94° 66°
\alpha_{mittel} 75° 131° 159° 131° 90°
\alpha_{stark} 102° 180° 217° 180° 120°

Quelle der verschiedenen Winkel : Wikipedia

„flächentreue“ Objektive heissen auch equal area oder „equisolid angle“
F-Theta Objektive heissen auch „äquidistant„,“equidistant„, „linear scaled„, oder „angular“
„winkeltreue“ Objektive heissen auch „sterographisch „,“sterographic “ oder „ conform“
„orthographische“ Objektive heissen auch“ hemispherical„oder orthographic

Für Details siehe : (english only, sorry)
equal area
F-Theta
gnomonic
orthographic
stereographic

Fraunhofer-Linie

image of Frauhofer-Lines

Fraunhofer lines, (C) Wikipedia

Spektrale Absorptionslinien des Spektrums der Sonne, benannt nach dem deutschen Physiker Joseph von Fraunhofer (1787–1826)
Solche Linien entstehen, wenn sich ein kaltes Gas zwischen einer breitbandigen Photonenquelle und dem Detektor befindet.
Photonen werden absorbiert und in zufällige neue Richtungen re-emittiert. Die Intensität in der Originalrichtung wird reduziert und eine dunkle Linien erscheint im Spektrum.

[table]Wellenlänge in nm,Fraunhofer-
Linie, Lichtquelle, Farbe
365.0146, i, Hg, UV
404.6561, h, Hg, violett
435.8343, g, Hg, blau
479.9914, F‘, Cd, blau
486.1327, F, H, blau
546.0740, e, Hg, grün
587.5618, d, He, gelb
589.2938, D, Na, gelb
643.8469, C‘, Cd, rot
656.2725, C, H, rot
706.5188, r, He, rot
768.2, A‘, K, rot
852.11, s, Cs, IR
1013.98, t, Hg, IR
[/table]

Siehe auch Abbe-Zahl, Dispersion.